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Derivadas

Heriberto Díaz
22 abr 2017
4 Min. de lectura

Derivada de una Función

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de una función f es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de f en x. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: ( x, f (x)). La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente.

Para poder calcular la pendiente de la recta secante a nuestra curva debemos recordar cómo se calculaba ésta:

m= (y2-y1) / (x2-x1)

Que también puede ser expresado como

m= Δy / Δx (Que significa el cambio en y entre el cambio en x)

Entonces en este caso la pendiente de nuestra recta secante a la curva es:

m= f(x+h) - f(x) / x+h-x (Las equis se van)

Nos queda que la pendiente es:

m= f(x+h) - f(x) / h

Derivadas Algebraicas

Para calcular la derivada de alguna función algebraica es necesario conocer las siguiente reglas para obtener los resultados. Por ejemplo:

Es la derivada de una constante.
Es la derivada de una variable (cuando se deriva respecto a ella misma).
Es la derivada de una constante por una variable.
Es la derivada de una suma o resta (se pueden hacer individualmente)
Es la derivada de la variable elevada a una potencia.
Es la derivada de una función elevada a una potencia
Es la derivada de la raíz enésima
Es la derivada de una raíz cuadrada
Es la derivada de un producto (multiplicación).
Es la derivada de un cociente (división).
Es la derivada de una constante sobre una función
ES la derivada de una función sobre una constante.

Conociendo las reglas para la derivación de funciones, podemos reconocer que en la imagen se muestran diferentes ejemplos en los que se calculan las derivadas para ciertas funciones, tomando como ejemplo la número 4, dice que la derivada de una suma o resta equivale a la derivada de las variables sumándose o restándose eventualmente, que también pueden expresarse como variables primas. De esta forma tenemos un ejemplo más simplificado de las reglas de derivación.

1) La derivada de una constante es igual a 0. (Es un valor fijo, aunque a veces no determinado, como lo pueden ser los números enteros.)

2) La derivada de una variable cuando se deriva respecto a ella misma es igual a 1 (usualmente las variables son las últimas letras del alfabeto.)

3) La derivada de una constante por una variable es igual a la constante por la derivada de nuestra variable.

4) La derivada de una variable elevada a la n potencia es igual a la multiplicación de la potencia por la variable elevada a la n potencia menos 1, que multiplica la derivada de la variable.

5) La derivada de una suma o resta no importando cuántas sumas o restas se hagan debido a que se pueden resolver individualmente es igual a la suma o resta de las derivadas de las mismas variables.

6) La derivada de una variable sobre una constante es igual a la derivada de la variable sobre la constante.

7) La derivada de una constante sobre una variable es igual a la constante sobre la variable elevada al cuadrado que multiplica a la derivada de la variable.

8)La derivada de una variable por otra variable es igual a la multiplicación de nuestra primera variable por la derivada de nuestra segunda variable a la que se le suma la multiplicación de nuestra segunda variable por la derivada de nuestra primera variable.

9) La derivada de una variable sobre otra variable es igual a la multiplicación de nuestra segunda variable por la derivada de nuestra primera variable todo esto entremenos nuestra primera variable por la derivada de nuestra segunda variable, nuestra segunda variable elevada al cuadrado.

10) La derivada de la multiplicación de varias variables es igual a la suma de las multiplicaciones de las mismas por la derivada de la última variable, que va cambiando de posiciones respecto a cada suma realizada.

11) La derivada de la raíz de una variable es igual a la derivada de la variable sobre la raíz de la misma variable multiplicada por dos.

12) La derivada de la raíz a la n potencia de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Ejemplos resueltos:

Donde:

u = 3x-4 v = 2x²+5

u' = 3 v' = 4x

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Ejemplo 4.

Ahora iremos a unos ejemplos un poco más laboriosos más no complicados debido a que conocemos las reglas de derivación.

Primero tomaremos como ejemplo una función y aplicaremos la regla de su derivada.

Ejemplos

Derivadas Trascendentes

Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.

En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación a exponentes constantes reales. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable.

Para poder realizar ejercicios de derivadas de funciones trascendentales necesitaremos de las reglas de derivación específicas que a continuación se mostrarán.